Un ensemble de Danzer est une partie $Y$ de $\mathbb R ^d$ qui rencontre tout ensemble convexe de volume 1. On ne sait pas s'il existe des ensembles de Danzer dans $\mathbb R ^d$ de croissance $O(T^d)$. Nous démontrons que les candidats naturels, tels que les ensembles discrets produits à l'aide de substitutions, de sections et de projections, ne sont pas des ensembles de Danzer. Dans le cas des sections et projections, notre preuve repose sur la dynamique et la structure des réseaux dans les groupes algébriques. Nous considérons aussi une notion plus faible, l'existence d'une forêt dense uniformément discrète, et nous utilisons la dynamique homogène (en particulier les théorèmes de Ratner sur les flots unipotents) pour construire de tels ensembles. Nous démontrons aussi l'équivalence entre le problème de Danzer et un problème combinatoire ique et en déduisons l'existence d'ensembles de Danzer de croissance $O(T^d\log T)$, améliorant ainsi la borne précédente $O(T^d \log ^{d-1}T)$.