Soit $K$ un corps local $p$-adique de corps résiduel $k$ tel que $[k : k^p] = p^e < +\infty $ et soit $V$ une représentation $p$-adique de $\mathrm {Gal} (\overline {K}/K)$. Nous utilisons la théorie des modules différentiels $p$-adiques pour montrer que $V$ est une représentation de Hodge-Tate (resp. de Rham) de $\mathrm {Gal} (\overline {K}/K)$ si et seulement si $V$ est une représentation de Hodge-Tate (resp. de Rham) de $\mathrm {Gal} (\overline {K^{\mathrm {pf} }}/K^{\mathrm {pf} })$ où $K^{\mathrm {pf} }/K$ est un certain corps local $p$-adique de corps résiduel le plus petit corps parfait $k^{\mathrm {pf} }$ contenant $k$.