Cet article est un résumé des progrès récents dans la géométrie des variétés riemanniennes à courbure de Ricci ou scalaire négative. Il décrit le domaine de validité des résultats généraux d'existence pour de telles métriques sur les variétés de dimension $\ge 3$. De plus, il explique les théorèmes de flexibilité et d'approximation pour ces conditions de courbure, ce qui conduit à des résultats inattendus. Par exemple, nous montrons que « modulo homotopie »(dans un sens précis), ces conditions de courbure n'impliquent aucune des conditions géométriques usuelles.