SMF

Singularité des produits de Anzai associés aux fonctions caractéristiques d'un intervalle

Spectral singularity of Anzai skew products associated with step functions

Mélanie Guenais
Singularité des produits de Anzai associés aux fonctions caractéristiques d'un intervalle
     
                
  • Année : 1999
  • Fascicule : 1
  • Tome : 127
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 28~D~05, 11~K~50
  • Pages : 71-93
  • DOI : 10.24033/bsmf.2342
On étudie les extensions à deux points au-dessus d'une rotation irrationnelle définies sur $\mathbb {T} \times \mathbb {Z}/2 \mathbb {Z}$ par $T_\beta (x,y)= (x + \alpha \hbox { mod } 1, y + \mathbf {1}_{[0,\beta [}(x) \hbox { mod }2)$. Ces transformations introduites par A. Katok et A. Stepin admettent un spectre simple lorsqu'elles sont ergodiques, et la question de la nature du type spectral se pose donc naturellement. On établit alors que ces transformations admettent toujours un spectre purement singulier, quels que soient $\alpha \notin \mathbb {Q}$ et $\beta \in {} ]0,1[$.
Two-point extensions over irrational rotations given on $\mathbb {T} \times \mathbb {Z}/ 2\mathbb {Z}$ by $T_\beta (x,y)= (x + \alpha \hbox { mod } 1, y + \mathbf {1}_{[0,\beta [}(x) \hbox { mod }2)$, where $\beta \in {}]0,1[$ and $\alpha $ is irrational have been extensively studied from the spectral point of view, starting with a well known paper by A. Katok and A. Stepin. In particular, they always have simple spectrum as soon as they are ergodic, and the question of the existence of such a transformation whose spectral type admits an absolutely continuous part arises naturally. We give here a negative answer to this question, by showing for every $\alpha $ and $\beta \in {}]0,1[$ the spectral singularity of these 2-point extensions.
théorie ergodique, théorie spectrale, singularité spectrale, produits gauches, rotations, fraction continue


Des problèmes avec le téléchargement?Des problèmes avec le téléchargement?
Informez-nous de tout problème que vous avez...