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Sur la monodromie des systèmes différentiels logarithmiques

On the monodromy map for logarithmic differential systems

Marian APRODU, Indranil BISWAS, Sorin DUMITRESCU, Sebastian HELLER
Sur la monodromie des systèmes différentiels logarithmiques
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  • Année : 2022
  • Fascicule : 3
  • Tome : 150
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 34M15, 34M56, 14H60, 53C05
  • Pages : 543-568
  • DOI : 10.24033/bsmf.2854

Nous étudions la monodromie des $\mathfrak g$-systèmes différentiels  logarithmiques au-dessus d'une surface compacte  orientée $S_0$  de genre $g$, où  $\mathfrak g$ désigne l'algèbre de Lie d'un groupe de Lie  complexe affine   réductif $G$. Ces $\mathfrak g$-systèmes différentiels sont des triplets de la forme $(X,  D,  \Phi)$, où $(X,  D)  \in  \mathcal{T}_{g,d}$  est un élément de l'espace de Teichmüller de structures complexes sur  $S_0$,  avec  $d  \geq 1$ points marqués ordonnés  $D  \subset  S_0 =  X$ et $\Phi$ est une connexion logarithmique sur le $G$-fibré holomorphe trivial $X \times G$ au-dessus de $X$ et dont la partie polaire est contenue dans le diviseur $D$.

Nous démontrons que l'application de monodromie définie sur l'espace des  $\mathfrak g$-systèmes différentiels logarithmiques et à valeurs dans la variété des caractères de $G$-représentations du groupe fondamental de $S_0\setminus D$ est une immersion au point générique dans les deux cas suivants :

1. $g  \geq  2$, $d  \geq  1$, et  $\dim_{\mathbb C}G   \geq  d+2$;

2.  $g = 1$ et  $\dim_{\mathbb C}G   \geq  d$.

L'application de monodromie ci-dessus n'est en aucun point une immersion dans les deux cas suivants :

1. $g = 0$  et  $d  \geq  4$;

2. $g \geq 1$ et  $\dim_{\mathbb C}G   <  \frac{d+3g-3}{g}$.

Ceci étend au cas logarithmique les résultats principaux de [5], [2] qui traitent le cas des  $\mathfrak g$-systèmes différentiels holomorphes non singuliers (qui correspondent ici au cas $d = 0$).

We study the monodromy map for logarithmic $\mathfrak g$-differential systems over an oriented surface $S_0$ of genus $g$, with $\mathfrak g$ being the Lie algebra of a complex reductive affine algebraic group $G$. These logarithmic $\mathfrak g$-differential systems are triples of the form $(X,  D,  \Phi)$, where $(X,  D)  \in  \mathcal{T}_{g,d}$ is an element of the Teichmüller space of complex structures on $S_0$ with $d  \geq 1$ ordered marked points $D  \subset  S_0 =  X$ and $\Phi$ is a logarithmic connection on the trivial holomorphic principal $G$-bundle $X \times G$ over $X$, whose polar part is contained in the divisor $D$. We prove that the monodromy map from the space of logarithmic $\mathfrak g$-differential systems to the character variety of $G$-representations of the fundamental group of $S_0\setminus D$ is an immersion at the generic point in the following two cases:

1. $g  \geq  2$, $d  \geq  1$, and $\dim_{\mathbb C}G   \geq  d+2$;

2. $g = 1$ and $\dim_{\mathbb C}G   \geq  d$.

The above monodromy map is nowhere an immersion in the following two cases:

1. $g = 0$ and $d  \geq  4$;

2. $g \geq 1$ and $\dim_{\mathbb C}G   <  \frac{d+3g-3}{g}$.

This extends to the logarithmic case the main results in [5], [2] dealing with nonsingular holomorphic $\mathfrak g$-differential systems (which corresponds to the case of $d $d = 0$).

Connexions logarithmiques, systèmes différentiels logarithmiques, application de monodromie, variété de caractères
Logarithmic connection, logarithmic differential system, monodromy map, character variety

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