On étudie l'algorithme de Metropolis sur un domaine  borné connexe $\Omega$ de l'espace euclidien pour un noyau de proposition localisé à une petite échelle $h > 0$. Nous considérons le cas d'un domaine $\Omega$ qui peut avoir des singularités de type cusp. Pour des petites valeurs du paramètre $h$, nous prouvons que le haut du spectre de l'opérateur de Metropolis est constitué de valeurs propres de multiplicité finie, dont nous calculons une asymptotique lorsque $h$ tend vers zéro. En conséquence, nous obtenons un retour à l'équilibre exponentiellement rapide en distance de variation totale.