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Métriques conformes avec les courbures gaussienne et géodésique prescrites

Conformal metrics with prescribed gaussian and geodesic curvatures

Rafael LÓPEZ-SORIANO, Andrea MALCHIODI & David RUIZ
Métriques conformes avec les courbures gaussienne et géodésique prescrites
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  • Année : 2022
  • Fascicule : 5
  • Tome : 55
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 35J20, 58J32
  • Pages : 1289-1328
  • DOI : 10.24033/asens.2516

Nous considérons le problème de prescrire les courbures gaussienne et géodésique d'une surface compacte à bord par une déformation conforme de la métrique. Nous obtenons des résultats d'existence en utilisant une approche variationnelle, soit en minimisant l'énergie d'Euler-Lagrange ou par les méthodes min-max. L'un des principaux outils de notre approche est une analyse d'explosion des solutions qui, dans notre cadre, peuvent avoir un volume divergent. À notre connaissance, c'est la première fois qu'un tel aspect est traité. Les ingrédients-clés de nos arguments sont: une analyse d'explosion autour d'une séquence de points différents des maxima locaux; l'utilisation de variations de domaine holomorphes; et des estimations à indice de Morse.

We consider the problem of prescribing the Gaussian and the geodesic curvatures of a compact surface with boundary by a conformal deformation of the metric. We derive some existence results using a variational approach, either by minimization of the Euler-Lagrange energy or via min-max methods. One of the main tools in our approach is a blow-up analysis of solutions, which in the present setting can have diverging volume even with uniform bounds on their Morse index. To our knowledge, this is the first time such an aspect is treated.  Key ingredients in our arguments are: a blow-up analysis around a sequence of points different from local maxima; the use of holomorphic domain-variations; and Morse-index estimates.

Problème de courbure prescrite, métrique conforme, méthodes variationnelles, analyse de explosion
Prescribed curvature problem, conformal metric, variational methods, blow-up analysis

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