Nous considérons le problème de prescrire les courbures gaussienne et géodésique d'une surface compacte à bord par une déformation conforme de la métrique. Nous obtenons des résultats d'existence en utilisant une approche variationnelle, soit en minimisant l'énergie d'Euler-Lagrange ou par les méthodes min-max. L'un des principaux outils de notre approche est une analyse d'explosion des solutions qui, dans notre cadre, peuvent avoir un volume divergent. À notre connaissance, c'est la première fois qu'un tel aspect est traité. Les ingrédients-clés de nos arguments sont: une analyse d'explosion autour d'une séquence de points différents des maxima locaux; l'utilisation de variations de domaine holomorphes; et des estimations à indice de Morse.