SMF

Sur la Ext-algèbre de Hecke du pro-$p$ Iwahori de $\mathrm{SL}_2(\mathbb Q_p)$

On the pro-$p$ Iwahori Hecke Ext-algebra of $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Q}_p)$

Peter SCHNEIDER, Rachel OLLIVIER
Sur la Ext-algèbre de  Hecke du pro-$p$ Iwahori de $\mathrm{SL}_2(\mathbb Q_p)$
  • Consulter un extrait
  •  
                
  • Année : 2022
  • Tome : 175
  • Format : Électronique, Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 20C08, 22E50, 16E30, 20J06, 11F85
  • Nb. de pages : 114
  • ISBN : 978-2-85629-944-9
  • ISSN : 0249-633-X; 2275-3230
  • DOI : 10.24033/msmf.483

Soit $G={\rm  SL}_2(\mathfrak F) $ où $\mathfrak F$ est une extension finite $\mathbb Q_p$. On suppose que le sous-groupe d'Iwahori $I$ de $G$ est un groupe de Poincaré de dimension $d$. Soit $k$ un corps  contenant le corps résiduel de $\mathfrak F$.

Dans cet article, nous étudions la Ext-algèbre graduée  $E^*=\mathrm{Ext}_{\mathrm{Mod}(G)}^*(k[G/I], k[G/I])$. Sa composante de degré zero est la $k$-algèbre de Hecke du  pro-$p$ Iwahori $H$. Nous étudions  le $H$-bimodule $E^d$  et déduisons que, étant donnée une $k$-représentation irréductible admissible lisse $V$ de $G$, on a $H^d(I, V)=0$ à moins que $V$ ne soit la représentation triviale.

Lorsque  $\mathfrak F=\mathbb Q_p$ avec $p\geq 5$,  on a $d=3$. Dans ce cas, nous décrivons le $H$-bimodule $E^*$ et  la structure d'algèbre du centralisateur  dans $E^*$ du centre de $H$. Nous en déduisons des résultats quant aux valeurs  du foncteur  qui attache à une $k$-représentation lisse (de longueur finie) $V$ de $G$ l'espace de $I$-cohomologie $H ^*(I, V)$.  Nous montrons que $H^*(I,V)$ est toujours de dimension finie. De plus, si $V$ est irréductible, alors $V$ est supersingulière si et seulement si $H^*(I,V)$ est un module supersingulier. 

Let $G={\rm  SL}_2(\mathfrak F) $ where $\mathfrak F$ is a finite extension of $\mathbb Q_p$. We suppose that the pro-$p$ Iwahori subgroup  $I$ of $G$ is a Poincaré group of dimension $d$. Let $k$ be a field  containing the residue field of $\mathfrak F$.

In this article, we study the graded Ext-algebra $E^*=\mathrm{Ext}_{\mathrm{Mod}(G)}^*(k[G/I], k[G/I])$. Its degree zero piece $E^0$ is the usual pro-$p$ Iwahori-Hecke $k$-algebra $H$. We study $E^d$ as an $H$-bimodule and deduce  that for an irreducible admissible smooth $k$-representation  $V$ of $G$, we have $H^d(I,V)=0$ unless $V$ is the trivial representation.

When $\mathfrak F=\mathbb Q_p$ with $p\geq 5$, we have $d=3$. In that case we describe $E^*$ as an $H$-bimodule and  give the structure  as an algebra of the centralizer in $E^*$ of the center of $H$. We deduce results on the values of the functor $H^*(I, {}_-)$ which attaches to a (finite length) smooth $k$-representation $V$ of $G$ its cohomology with respect to $I$. We prove that $H^*(I,V)$ is always  finite dimensional.  Furthermore, if  $V$ is  irreducible, then $V$ is supersingular if and only if $H^*(I,V)$ is a supersingular $H$-module.

Cohomologie du pro-$p$ Iwahori, Ext-algèbre, algèbre de Hecke du pro-$p$ Iwahori, représentations du groupe $p$-adique ${\rm SL}_2$, supersingularité
Cohomology of the pro-$p$ Iwahori subgroup, Ext-algebra, pro-$p$ Iwahori Hecke algebra, representations of $p$-adic ${\rm SL}_2$, supersingularity

Prix Papier
Price (paper only)
Prix public Public price 38.00 €
Prix membre Member price 27.00 €
Quantité
Quantity
- +