Nous décrivons un ordre sur l'ensemble des rapports d'échelle de l'ensemble de Cantor du doublement de période générique universel lisse, et montrons que cet ensemble de rapports forme lui-même un ensemble de Cantor, ce qui est une conjecture formulée par Coullet et Tresser en 1977. Ce résultat établit explicitement la complexité géométrique de l'ensemble de Cantor du doublement de période universel. Nous montrons aussi un résultat de convergence pour les deux opérateurs de renormalisation du doublement de période, agissant sur l'espace de codimension $1$ des applications de doublement de période.