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Sur la taille des ensembles de dérivées des fonctions bosses et des hyperplans tangents aux corps étoilés dans l'espace de Hilbert

On the size of the sets of gradients of bump functions and starlike bodies on the Hilbert space

Daniel Azagra, Mar Jiménez-Sevilla
Sur la taille des ensembles de dérivées des fonctions bosses et des hyperplans tangents aux corps étoilés dans l'espace de Hilbert
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  • Année : 2002
  • Fascicule : 3
  • Tome : 130
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 46B20, 58B99
  • Pages : 337-347
  • DOI : 10.24033/bsmf.2422
On étudie la taille des ensembles de dérivées des fonctions bosses sur l'espace de Hilbert $\ell _2$, ainsi que celle de l'ensemble des hyperplans tangents à un corps étoilé dans $\ell _2$. On trouve que ces ensembles peuvent être assez petits. D'un côté, la norme de l'espace de Hilbert peut s'approximer uniformément par des fonctions de e $C^1$ et lipschitziennes $\psi $ telles que les cônes générés par les images des dérivées $\psi '(\ell _2)$ sont d'intérieur vide. Cela entraîne l'existence de fonctions de e $C^1$ et lipschitziennes dont les cônes générés par les images des dérivées sont d'intérieur vide. On construit d'autre part des corps étoilés bornés lisses de e $C^1$ et lipschitziens dont les cônes générés par leurs hyperplans tangents sont d'intérieur vide. On montre aussi pourquoi ces résultats constituent la meilleure réponse à ces questions que l'on puisse espérer.
We study the size of the sets of gradients of bump functions on the Hilbert space $\ell _2$, and the related question as to how small the set of tangent hyperplanes to a smooth bounded starlike body in $\ell _2$ can be. We find that those sets can be quite small. On the one hand, the usual norm of the Hilbert space $\ell _2$ can be uniformly approximated by $C^1$ smooth Lipschitz functions $\psi $ so that the cones generated by the ranges of its derivatives $\psi '(\ell _2)$ have empty interior. This implies that there are $C^1$ smooth Lipschitz bumps in $\ell _2$ so that the cones generated by their sets of gradients have empty interior. On the other hand, we construct $C^1$-smooth bounded starlike bodies $A\subset \ell _2$, which approximate the unit ball, so that the cones generated by the hyperplanes which are tangent to $A$ have empty interior as well. We also explain why this is the best answer to the above questions that one can expect.
Dérivées, hyperplans tangents, fonctions bosses, corps étoilés
Gradient, bump function, starlike body