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Surfaces kählériennes de volume fini et équations de Seiberg-Witten

Kähler surfaces of finite volume and Seiberg-Witten equations

Yann Rollin
Surfaces kählériennes de volume fini et équations de Seiberg-Witten
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  • Année : 2002
  • Fascicule : 3
  • Tome : 130
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 53C20, 53C24, 32L05, 14D21
  • Pages : 409-456
  • DOI : 10.24033/bsmf.2425
Soit $M=\mathbb {P}(\mathcal E)$ une surface complexe réglée. Nous introduisons des métriques de volume fini sur $M$ dons les singularités sont paramétrisées par une structure parabolique sur le fibré $\mathcal E$. Nous généralisons alors un résultat de Burns-de Bartolomeis et Le Brun, en montrant que l'existence de métriques kählériennes singulières, de volume fini, à courbure scalaire constante négative ou nulle sur $M$ est équivalente à une condition de polystabilité parabolique sur $\mathcal E$ ; de plus ces métriques proviennent toutes de quotients de volume fini de $\mathbb {H}^2\times \mathbb {CP}^1$. En outre nous produisons une solution des équations de Seiberg-Witten pour une métrique singulière de volume fini afin de démontrer ce théorème.
Let $M=\mathbb {P}(\mathcal E)$ be a complex ruled surface. We introduce metrics of finite volume on $M$ whose singularities are parametrized by a parabolic structure over $\mathcal E$. Then, we generalise results of Burns-de Bartolomeis and Le Brun, by showing that the existence of a singular Kähler metric of finite volume and constant non positive scalar curvature on $M$ is equivalent to the parabolic polystability of $\mathcal E$ ; moreover these metrics all come from finite volume quotients of $\mathbb {H}^2\times \mathbb {CP}^1$. Therefore, we produce a solution of Seiberg-Witten equations for a singular metric $g$ of finite volume in order to prove the theorem.
Seiberg-Witten, surfaces réglées, métriques de Kähler, fibrés paraboliques, stabilité
Seiberg-Witten, ruled surfaces, Kaehler metrics, parabolic bundles, stability