Soit $M=\mathbb {P}(\mathcal E)$ une surface complexe réglée. Nous introduisons des métriques de volume fini sur $M$ dons les singularités sont paramétrisées par une structure parabolique sur le fibré $\mathcal E$. Nous généralisons alors un résultat de Burns-de Bartolomeis et Le Brun, en montrant que l'existence de métriques kählériennes singulières, de volume fini, à courbure scalaire constante négative ou nulle sur $M$ est équivalente à une condition de polystabilité parabolique sur $\mathcal E$ ; de plus ces métriques proviennent toutes de quotients de volume fini de $\mathbb {H}^2\times \mathbb {CP}^1$. En outre nous produisons une solution des équations de Seiberg-Witten pour une métrique singulière de volume fini afin de démontrer ce théorème.