Harvey et Lawson ont introduit et calculé le rang de Kähler en relation avec le cône des courants positifs fermés de bidimension $(1,1)$ pour beaucoup de classes de surfaces complexes compactes. Dans ce travail nous étendons ces calculs à la seule classe de surfaces connues et qui n’avait pas été considérée par eux, celle des surfaces de Kato. Notre outil principal est la réduction à la dynamique des contractions holomorphes $(\mathbb{C},0)\to(\mathbb{C},0)$ associées.