Cet ouvrage offre un panorama sur les inégalités de Sobolev logarithmiques dont le champ d'application n'a cessé de croître au cours des dernières années, de l'analyse et la géométrie en dimension finie et infinie, aux probabilités et à la mécanique statistique. Ce texte, composé de chapitres à la lecture autonome, constitue une introduction accessible au plus grand nombre sur divers aspects de l'étude de ces inégalités. L'exemple fondamental des lois de Bernoulli et Gauss est l'occasion d'introduire, d'après Gross, les inégalités de Sobolev logarithmiques. Les propriétés d'hypercontractivité et de stabilité par produit tensoriel forment un aspect caractéristique de ces inégalités qui s'insèrent en fait dans la famille plus large des inégalités de Sobolev traditionnelles. Un thème abordé est celui du critère de courbure et dimension, qui constitue un outil efficace pour l'obtention d'inégalités fonctionnelles, suivi d'un autre sur une caractérisation des mesures vérifiant des inégalités de Sobolev logarithmiques et de Poincaré sur la droite réelle à l'aide des inégalités de Hardy. Sont étudiées ensuite les interactions avec divers domaines de l'analyse et des probabilités. Parmi elles, le phénomène de concentration de la mesure, utile aussi bien en géométrie, en probabilités discrètes, en combinatoire et en statistique. Suivent les relations récentes entre inégalités de Sobolev logarithmiques et inégalités de transport, qui fournissent également une autre approche de la concentration ; puis un contrôle des vitesses de convergence vers l'équilibre de chaînes de Markov sur des espaces finis au moyen des constantes de trou spectral et de Sobolev logarithmique. Le dernier chapitre est une relecture moderne de la notion d'entropie en théorie de l'information et de ses liens multiples avec la forme euclidienne de l'inégalité de Sobolev logarithmique gaussienne, faisant remonter la genèse de cette inégalité aux travaux de Shannon et Stam. L'accent est mis sur les méthodes et les propriétés examinées, plutôt que sur les cadres d'études les plus généraux. La bibliographie, sans être encyclopédique, tente de faire un point assez complet sur le sujet, avec notamment les dernières références en la matière sur chacun des chapitres.