SMF

Symboles modulaires surconvergents et fonctions $L$ $p$-adiques

Overconvergent modular symbols and $p$-adic $L$-functions

Robert Pollack, Glenn Stevens
Symboles modulaires surconvergents et fonctions $L$ $p$-adiques
  • Année : 2011
  • Fascicule : 1
  • Tome : 44
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 11F67
  • Pages : 1-42
  • DOI : 10.24033/asens.2139
Cet article est une exploration constructive des rapports entre les symboles modulaires iques et les symboles modulaires $p$-adiques surconvergents. Plus précisément, nous donnons une preuve constructive d'un théorème de contrôle (Théorème ??) du deuxième auteur [?] ; ce théorème démontre l'existence et l'unicité des « liftings propres » des symboles propres modulaires iques de pente non-critique. Comme application, nous décrivons un algorithme en temps polynomial pour le calcul explicite des fonctions $L$ $p$-adiques associées dans ce cas-là. Dans le cas de pente critique, le théorème de contrôle échoue toujours à produire des « liftings propres » (voir Théorème ?? et [?] pour un succédané), mais l'algorithme « réussit » néanmoins à produire des fonctions $L$ $p$-adiques. Dans les deux dernières sections, nous présentons des données numériques pour plusieurs exemples de pente critique et examinons le polygone de Newton des fonctions $L$ $p$-adiques associées.
This paper is a constructive investigation of the relationship between ical modular symbols and overconvergent $p$-adic modular symbols. Specifically, we give a constructive proof of a control theorem (Theorem ??) due to the second author [?] proving existence and uniqueness of overconvergent eigenliftings of ical modular eigensymbols of non-critical slope. As an application we describe a polynomial-time algorithm for explicit computation of associated $p$-adic $L$-functions in this case. In the case of critical slope, the control theorem fails to always produce eigenliftings (see Theorem ?? and [?] for a salvage), but the algorithm still “succeeds” at producing $p$-adic $L$-functions. In the final two sections we present numerical data in several critical slope examples and examine the Newton polygons of the associated $p$-adic $L$-functions.
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