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Trois problèmes sur les sommes trigonométriques (réimpresssion numéro 1 - 1973)

Three problems about trigonometric sums

Yves MEYER
Trois problèmes sur les sommes trigonométriques (réimpresssion numéro 1 - 1973)
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  • Année : 2017
  • Tome : 1
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 42A16, 42A75, 42B37
  • Nb. de pages : iv +89
  • ISBN : 978-2-85629-433-8
  • ISSN : 0303-1179 (print), 2492-5926 (electronic)
  • DOI : 10.24033/ast.1037

Dans ce livre, écrit il y a maintenant quarante cinq ans, trois problèmes concernant les sommes trigonométriques avaient été abordés. Aujourd'hui le second chapitre est devenu le plus important, car il a conduit à la théorie mathématique des quasi-cristaux et aux travaux d'Alexander Olevskii et de ses collaborateurs sur l'échantillonnage irrégulier. C'est pourquoi la Société Mathématique de France a jugé bon de réimprimer cet ouvrage. Dans la postface, nous avons résumé les développements récents de certains des thèmes que nous avions étudiés dans la première édition.

Almost periodic functions have been defined and studied by the Danish mathematician Harald Bohr. Bohr's motivations were number theory and Dirichlet series. A trigonometric polynomial $S(x)$ is a function of the real variable $x$ defined by $ S(x)=\sum _1^N c_k\exp (2\pi i \lambda _k x)$ were the frequencies $\lambda _k$ are arbitrary real numbers and the coefficients $c_k$ are real or complex numbers. An almost periodic function in the sense given by Bohr is a uniform limit on $\mathbb R$ of a sequence $S_m$ of trigonometric polynomials. This definition leads to the computation or estimation of $\sup _{x\in {\mathbb R}}|S(x)|=\|S\|_{\infty }$ which is often a hard problem. Let us define $T(\epsilon )>0$ as the lower bound of the set of $|x|$ such that $|S(x)|\geq (1-\epsilon )\|S\|_{\infty }.$ The estimation of $T(\epsilon )$ as $\epsilon \to 0$ depends on the arithmetical property of the set of frequencies $\lambda _k.$ This booklet is devoted to these issues which are illustrated on three examples.

Somme trigonométrique, fonction presque périodique, vibration, comportement asymptotique, ensemble modèle, nombre de Pisot.
Trigonometric sum, almost periodic function, vibration, asymptotic behavior, model set, Pisot numbers.
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