SMF

Type des points fixes des difféomorphismes symplectiques de ${\Bbb T}^n \times {\Bbb R}^n$

M.-C. Arnaud
  • Année : 1992
  • Tome : 48
  • Format : Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 53C15, 55M20
  • Nb. de pages : 63
  • ISBN : 2-85629-016-7
  • ISSN : 0249-633-X
  • DOI : 10.24033/msmf.361
On s'intéresse aux points fixes des difféomorphismes exacts symplectiques de es $C^r (1 \leq r \leq \infty )$ de l'anneau ${\Bbb T}^n \times {\Bbb R}^n$ de dimension $2n$ génériques en topologie $C^r$ et proches en topologie $C^r$ d'un difféomorphisme complètement intégrable faiblement monotone (toutes ces notions seront définies par la suite). Plus précisément, nous regardons quels types de points fixes apparaissent (sont-ils hyperboliques, complètement elliptiques, elliptiques X hyperboliques ?). Nous montrons que les résultats obtenus dépendent de la torsion du difféomorphisme complètement intégrable que nous perturbons et que, curieusement, alors qu'on peut minorer la dimension elliptique des points fixes, on ne peut en général rien dire de leur dimension hyperbolique. Nous donnons une application de ce résultat concernant les points périodiques qui s'accumulent sur un point périodique elliptique d'un difféomorphisme symplectique générique de e $C^4$ d'une variété symplectique (en utilisant le théorème de Birkhoff-Lewis).
We are interested in the fixed points of the exact symplectic $C^r$-diffeomorphisms $(1 \leq r \leq \infty )$ of the $2n$-dimensional annulus ${\Bbb T}^n \times {\Bbb R}^n$ which are generic in the $C^r$-topology and $C^r$-close to a completely integrable weakely monoton diffeomorphism. More precisely, we are looking at the types of this fixed points (are they hyperbolic, completely elliptic, elliptic X hyperbolic ?). We prove that the results depend on the torsion of the completely integrable diffeomorphism which we are perturbing. We can find a lower bound of the elliptic dimension of the fixed points, but we can say nothing in general about their hyperbolic dimensions. Using the Birkhoff-Lewis' theorem, we apply this results to the periodic points accumulating on an elliptic periodic point of every generic symplectic $C^4$-diffeomorphism of a symplectic manifold.

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