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Une caractérisation complète des groupes de Lie connexes ayant la Propriété d'Approximation

A complete characterization of connected Lie groups with the Approximation Property

Uffe Haagerup, Søren Knudby, Tim de Laat
Une caractérisation complète des groupes de Lie connexes ayant la Propriété d'Approximation
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  • Année : 2016
  • Tome : 49
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 22D25, 46B28.
  • Pages : 927-946
  • DOI : 10.24033/asens.2299
Nous donnons une caractérisation complète des groupes de Lie connexes ayant la propriété d'approximation (AP) pour des groupes. À cette fin, nous introduisons un renforcement de la propriété (T), que nous appelons propriété (T$^{\ast }$) et qui est une obstruction naturelle à AP. Dans le but de définir la propriété (T$^{\ast }$), nous montrons d'abord que pour tout groupe localement compact $G$, l'espace $M_0A(G)$ des multiplicateurs complètement bornés de $G$ admet une unique moyenne invariante à gauche $m$. Un groupe localement compact $G$ a la propriété (T$^{\ast }$) si $m$ est une forme continue pour la topologie $^{\ast }$-faible. Après avoir démontré que les groupes $\mathrm {SL}(3,\mathbb {R})$, $\mathrm {Sp}(2,\mathbb {R})$ et $\widetilde {\mathrm {Sp}}(2,\mathbb {R})$ ont la propriété (T$^{\ast }$), nous étudions la question de savoir lesquels parmi les groupes de Lie connexes ont l'AP. Il se pose alors le problème technique que la partie semi-simple de la décomposition de Levi globale d'un groupe de Lie connexe n'est pas toujours fermée. Grâce à une importante propriété de stabilité de la propriété (T$^{\ast }$), ce problème disparaît. Il s'en suit qu'un groupe de Lie connexe a l'AP si et seulement si tous les facteurs simples de la partie semi-simple de sa décomposition de Levi ont un rang réel $0$ ou $1$. Enfin, nous démontrons que tous les groupes de Lie simples connexes de rang $\geq 2$ et de centre fini ont la propriété (T$^{\ast }$).
We give a complete characterization of connected Lie groups with the Approximation Property for groups (AP). To this end, we introduce a strengthening of property (T), that we call property (T$^{\ast }$), which is a natural obstruction to the AP. In order to define property (T$^{\ast }$), we first prove that for every locally compact group $G$, there exists a unique left invariant mean $m$ on the space $M_0A(G)$ of completely bounded Fourier multipliers of $G$. A locally compact group $G$ is said to have property (T$^{\ast }$) if this mean $m$ is a weak$^{\ast }$ continuous functional. After proving that the groups $\mathrm {SL}(3,\mathbb {R})$, $\mathrm {Sp}(2,\mathbb {R})$, and $\widetilde {\mathrm {Sp}}(2,\mathbb {R})$ have property (T$^{\ast }$), we address the question which connected Lie groups have the AP. A technical problem that arises when considering this question from the point of view of the AP is that the semisimple part of the global Levi decomposition of a connected Lie group need not be closed. Because of an important permanence property of property (T$^{\ast }$), this problem vanishes. It follows that a connected Lie group has the AP if and only if all simple factors in the semisimple part of its Levi decomposition have real rank $0$ or $1$. Finally, we are able to establish property (T$^{\ast }$) for all connected simple higher rank Lie groups with finite center.
Propriétés d'approximation, groupes de Lie, propriété (T), moyennes invariantes.
Approximation properties, Lie groups, property (T), invariant means.
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