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Une description fonctorielle des $K$-théories de Morava des 2-groupes abéliens élémentaires

A functorial description of the Morava $K$-theories of elementary abelian $2$-groups

Quyet Le Chi NGUYEN
Une description fonctorielle des $K$-théories de Morava des 2-groupes abéliens élémentaires
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  • Année : 2020
  • Fascicule : 1
  • Tome : 148
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 55N20, 55N22, 55U99
  • Pages : 133-172
  • DOI : 10.24033/bsmf.2801

Le but de cet article est l'étude, d'un point de vue fonctoriel, des $K$-théories de Morava modulo $2$ des $2$-groupes abéliens élémentaires. Autrement dit, nous étudions les foncteurs $V \mapsto K(n)^*(BV)$ pour le nombre premier $p=2$ et $n$ un entier positif. Ils sont gradués sur ${\mathbb Z}/(2^{n+1}-2)$, les termes impairs de la graduation sont triviaux. Le cas $n=1$ résulte directement du travail d'Atiyah sur la $K$-théorie topologique, il donne un foncteur coanalytique qui ne possède aucun sous-foncteur polynomial non-constant. Il est très différent du cas $n>1$, où les foncteurs s'avèrent être analytiques. Le cas de $K(2)^*$ est très particulier: le foncteur est auto-dual.

The aim of this article is to study, from a functorial viewpoint, the mod $2$ Morava $K$-theories of elementary abelian $2$-groups. Namely, we study the functors $V \mapsto K(n)^*(BV)$ for the prime $p=2$ and $n$ a positive integer. They are graded over ${\mathbb Z}/(2^{n+1}-2)$, the odd terms of this graduation are trivial. The case $n=1$, which follows directly from the work of Atiyah on topological $K$-theory, gives us a coanalytic functor which contains no non-constant polynomial sub-functor. This is very different from the case $n>1$, where the above-mentioned functors are analytic. The case of $K(2)^*$ is very special: the functor is auto-dual.

$K$-théorie de Morava, Loi de groupe formel, Représentation générique
Morava $K$-theory, Formal group law, Generic representation
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