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Valeur en $2$ de fonctions $L$ de formes modulaires de poids $2$ : théorème de Beilinson explicite

Value at $2$ of $L$-functions of modular forms of weight $2$ : an explicit version of Beilinson's theorem

François Brunault
Valeur en $2$ de fonctions $L$ de formes modulaires de poids $2$ : théorème de Beilinson explicite
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  • Année : 2007
  • Tome : 135
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 11F67, 11G40, 19F27
  • Pages : 215-246
  • DOI : 10.24033/bsmf.2532
Nous montrons une version explicite du théorème de Beilinson pour la courbe modulaire $X_1(N)$. Ce résultat est la première étape d'un travail reliant, d'une part, la valeur en $2$ de la fonction $L$ d'une forme primitive de poids $2$, et d'autre part, la fonction dilogarithme associée à la courbe modulaire correspondante, dans l'esprit de la conjecture de Zagier pour les courbes elliptiques. Comme corollaire de notre théorème, dans le cas où $N$ est premier, nous répondons à une question de Schappacher et Scholl concernant l'image de l'application régulateur de Beilinson.
We prove an explicit version of Beilinson's theorem for the modular curve $X_1(N)$. This result is the first step of a work linking the value at $2$ of the $L$-function of a newform of weight 2 on the one hand, and the dilogarithm function associated to the corresponding modular curve on the other, in the spirit of Zagier's conjecture for elliptic curves. As a corollary of our theorem, in the case $N$ is prime, we answer a question raised by Schappacher and Scholl concerning the image of Beilinson's regulator map.
$K$-théorie algébrique, conjecture de Beilinson, fonction $L$, valeur spéciale, régulateur, forme modulaire, courbe modulaire, courbe elliptique, dilogarithme
algebraic $K$-theory, Beilinson's conjecture, $L$-function, special value, regulator, modular form, modular curve, elliptic curve, dilogarithm
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