SMF

Variétés rationnellement connexes sur un corps algébriquement clos

Rationally connected varieties on an algebraically closed field

Laurent Bonavero
  • Année : 2010
  • Tome : 31
  • Format : Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 14E05, 14E30, 14J40, 14J45
  • Pages : 9-60
Ce sont les notes d'un mini-cours sur les variétés rationnellement connexes, écrit pour les Etats de la Recherche de la Société Mathématique de France (Strasbourg, 2008). On met l'accent sur les aspects géométriques. Ces notes sont aussi une invitation à lire le livre d'Olivier Debarre [?], dont une grande partie de ce cours est extraite. Ces notes doivent surtout permettre au lecteur de comprendre l'énoncé suivant : Sur un corps algébriquement clos, soient $X$ une variété projective lisse et $\varphi : X \to C$ un morphisme surjectif sur une courbe projective lisse $C$. Si la fibre générale de $\varphi $ est séparablement rationnellement connexe, alors $\varphi $ possède une section. Ainsi que l'un de ses fameux corollaires [?] : Sur un corps algébriquement clos de caractéristique zéro, soit $f : X \to Y$ un morphisme dominant entre deux variétés projectives. Si $Y$ et la fibre générale de $f$ sont rationnellement connexes, alors $X$ est rationnellement connexe. Ce cours est rédigé dans l'espoir de s'adresser à un public large, à l'exception peut-être du §7, écrit en collaboration avec Stéphane Druel, où nous donnons les détails de la preuve de la conjecture de connexité rationnelle de Shokurov par Hacon et McKernan, plus technique et où les prérequis sont un peu plus importants.
These are lectures notes on rationally connected varieties, written for the « Etats de la Recherche » of the French Mathematical Society held in Strasbourg (May 2008). We focus on geometric aspects. These lectures notes are also an invitation to read Debarre's book [?], which was a great source of inspiration. These lectures notes should provide for the reader all the necessary material to understand the following statement : Let $X$ be a projective manifold defined over an algebraically closed field and let $\varphi : X \to C$ be a surjective morphism over a smooth projective curve $C$. If the general fiber of $\varphi $ is separably rationally connected, then $\varphi $ has a section. Together with one of its famous consequences [?] : Let $f: X \to Y$ a dominant map between two projective varieties over an algebraically closed field of characteristic zero. If both $Y$ and the general fiber of $f$ are rationally connected, then $X$ is rationally connected. These notes have been written in order that a wide audience can easily read them, except maybe the last section, written in collaboration with Stéphane Druel, a bit more technical, where we give the detailed proof of Shokurov's rational connectedness conjecture following Hacon and McKernan.
Courbes rationnelles, variétés rationnellement connexes
Rational curves, rationally connected varieties