Suite aux travaux de William Thurston et Grigori Perelman la compréhension des variétés compactes de dimension 3 se ramène essentiellement à la compréhension de celles d'entre elles qui peuvent être munies d'une structure hyperbolique, c'est-à-dire d'une métrique riemannienne de courbure sectionnelle constante égale à -1. La topologie de ces dernières restait mystérieuse jusqu'à tout récemment. La situation a commencé à changer avec la démonstration, par Jeremy Kahn et Vladimir Markovic, du fait que le groupe fondamental d'une variété hyperbolique compacte de dimension 3 contient toujours le groupe fondamental d'une surface de genre supérieur à 2. Dans cet exposé, j'expliquerai les grandes idées de cette démonstration. Puis je relierai ce résultat aux travaux de Dani Wise et Ian Agol sur la "conjecture virtuellement Haken" et aux travaux de Kahn et Markovic sur la "conjecture d'Ehrenpreis".