Emerton vient de montrer que la correspondance de Langlands locale $p$-adique pour ${\mathrm{GL}}_2(\mathbb{Q}_p)$ se réalise dans la cohomologie étale $p$-adique "complétée" de la tour des courbes modulaires. Combiné avec des travaux de Colmez et de Kisin (et d'autres), ainsi qu'avec la preuve de la conjecture de modularité de Serre (Khare-Wintenberger), ce résultat a plusieurs conséquences~: conjecture de Fontaine-Mazur décrivant les représentations galoisiennes provenant des formes modulaires, conjecture de Kisin sur l'analogue surconvergent, compatibilité entre correspondance de Langlands $p$-adique et correspondance classique pour ${\mathrm{GL}}_2(\mathbb{Q}_p)$, conjecture sur les multiplicités modulaires de Breuil-Mézard...