Exposé Bourbaki 1034 : Inégalités isopérimétriques quantitatives via le transport optimal d'après A. Figalli, F. Maggi et A. Pratelli
Exposé Bourbaki 1034 : Quantitative isoperimetric inequalities via optimal transport after A. Figalli, F. Maggi et A. Pratelli
Français
L'inégalité isopérimétrique est une inégalité géométrique qui établit une relation entre le volume et le périmètre d'une forme dans $\mathbb{R}^n$. Connue dans sa forme plus simple depuis l'antiquité, comme son nom l'indique elle concerne la recherche du corps qui, à périmètre égal, maximise le volume. De manière analogue, elle indique aussi l'objet qui minimise le périmètre à volume fixé et, comme on sait que la forme optimale est celle de la boule, en connaissant son volume et son périmètre et en choisissant une formulation invariante par dilatations, on peut l'écrire comme une inégalité vraie pour tout ensemble $E\subset\mathbb{R}^n$
\begin{equation}\label{prima}
P(E)\geq n |E|^{1-\frac 1n}|B|^{\frac 1n},
\end{equation} où $P$ indique le périmètre, $|\cdot|$ la mesure de Lebesgue $n$-dimensionnelle, et $B$ la boule unité de $\mathbb{R}^n$.