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Exposé Bourbaki 1057 : Perfectoïdes, presque pureté et monodromie-poids d'après Peter Scholze

Exposé Bourbaki 1057 : Perfectoids, almost purity and the weight-monodromy conjecture after Peter Scholze

Jean-Marc FONTAINE
Exposé Bourbaki 1057 : Perfectoïdes, presque pureté et monodromie-poids d'après Peter Scholze
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  • Année : 2013
  • Tome : 352
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 11G25, 14F20, 14G20, 14G22
  • Pages : 509-534

En théorie de Hodge $p$-adique, on utilise de façon cruciale le fait que la théorie de Galois d'une extension algébrique suffisamment ramifiée de $\mathbb Q_p$ (par exemple une $\mathbb Z_p$-extension ramifiée) s'identifie à la théorie de Galois d'un corps valué complet de caractéristique $p$. En utilisant une vaste généralisation de cette construction, Scholze  introduit certains espaces analytiques ultramétriques, les {\it espaces perfectoïdes}. À tout espace  perfectoïde $X$ sur un corps perfectoïde~$K$,  il associe un espace perfectoïde $X^\flat$ sur le corps perfectoïde $K^\flat$ de caractéristique~$p$ et cette construction est une équivalence de catégories. En outre,  le site étale de $X$ s'identifie à celui de~$X^\flat$.

Ceci permet à Scholze de donner une preuve simple  du théorème de presque pureté de Faltings et de ramener la conjecture monodromie-poids pour les intersections complètes dans les variétés toriques en caractéristique mixte au théorème de Deligne en égale caractéristique.

A crucial construction in $p$-adic Hodge theory identifies the Galois theory of a sufficiently ramified extension of $\Q_p$ (e.g. a ramified $\Z_p$ extension) to the Galois theory of a local field of characteristic $p$. Using a huge generalization of this construction, Scholze introduces a class of ultrametric analytic spaces, the {\it perfectoid spaces}. To any perfectoid space $X$ over a perfectoid field $K$ corresponds a perfectoid space $X^\flat$ over the perfectoid field $K^\flat$ of characteristic $p$. This correspondence is an equivalence of categories. Moreover, the étale site of $X$ is identified to the étale site of $X^\flat$.

Meanwhile, Scholze gives a  new proof of the almost purity theorem of Faltings. He uses his construction to deduce the monodromy-weight conjecture for complete intersections in a toric variety over a finite extension of $\Q_p$ from a theorem  of Deligne in characteristic $p$.

Espaces perfectoïdes, espaces adiques, topologie étale, pureté, monodromie-poids
Perfectoid spaces, adic spaces, étale topology, purity, weight-monodromy

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