Exposé Bourbaki 1057 : Perfectoïdes, presque pureté et monodromie-poids d'après Peter Scholze
Exposé Bourbaki 1057 : Perfectoids, almost purity and the weight-monodromy conjecture after Peter Scholze
Français
En théorie de Hodge $p$-adique, on utilise de façon cruciale le fait que la théorie de Galois d'une extension algébrique suffisamment ramifiée de $\mathbb Q_p$ (par exemple une $\mathbb Z_p$-extension ramifiée) s'identifie à la théorie de Galois d'un corps valué complet de caractéristique $p$. En utilisant une vaste généralisation de cette construction, Scholze introduit certains espaces analytiques ultramétriques, les {\it espaces perfectoïdes}. À tout espace perfectoïde $X$ sur un corps perfectoïde~$K$, il associe un espace perfectoïde $X^\flat$ sur le corps perfectoïde $K^\flat$ de caractéristique~$p$ et cette construction est une équivalence de catégories. En outre, le site étale de $X$ s'identifie à celui de~$X^\flat$.
Ceci permet à Scholze de donner une preuve simple du théorème de presque pureté de Faltings et de ramener la conjecture monodromie-poids pour les intersections complètes dans les variétés toriques en caractéristique mixte au théorème de Deligne en égale caractéristique.