Dans l'étude des espaces métriques, c'est souvent la structure géométrique grossière qui joue un rôle important. La théorie géométrique des groupes a permis d'étudier efficacement les groupes en tant qu'objets géométriques via leurs graphes de Cayley et dès lors, les propriétés géométriques grossières des groupes ont eu des implications profondes sur plusieurs conjectures importantes en topologie et en analyse. Une façon de créer des exemples de groupes intéressants pour ces conjectures est d'utiliser la théorie de la petite simplification pour plonger dans les graphes de Cayley de ces groupes des suites de graphes finis dont on peut contrôler la géométrie. Pour ce faire, il est crucial d'avoir une source riche d'exemples de suites de graphes finis avec des propriétés particulières. Ces dernières peuvent également être construites à l'aide de groupes, en prenant une suite de graphes de Cayley de quotients finis d'un groupe et en utilisant les liens entre les propriétés du groupe et les propriétés géométriques de ces graphes. Une telle construction d'Arzhantseva-Guentner-Špakula utilisant les revêtements et les espaces à murs a été utilisée par Osajda, se basant sur les travaux de Arzhantseva-Osajda, pour montrer l'existence de groupes non exacts admettant un plongement grossier dans un espace de Hilbert.