Dans cet article, nous donnons des exemples de produits croisés $T: {\mathbb T}^2 \to {\mathbb T}^2$ de forme  $T: (x, y) = (x + \omega, x + f (y))$, où $f: {\mathbb T}\to{\mathbb T}$ est un endomorphisme $C^1$ explicite de  degré deux avec un point critique unique  et où $\omega$ appartient à un ensemble de mesures positives, dont l'exposant de Lyapunov fibré est positif pour presque tout $(x, y) \in {\mathbb T}^2$. Le point critique est de type $f'(\pm e^{-s})\approx e^{-\frac{\beta s}{(\log s)^2}}$ pour tout $s$ grand, où  $\beta> 0$ est une petite constante numérique.