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Cocycles projectifs au-dessus d'actions de $SL(2, {\mathbb R})$ : mesures invariantes au-dessus du groupe triangulaire supérieur

Projective cocycles over $SL(2,\mathbb R)$ actions: measures invariant under the upper triangular group

Christian BONATTI, Alex ESKIN, Amie WILKINSON
Cocycles projectifs au-dessus d'actions de $SL(2, {\mathbb R})$ : mesures invariantes au-dessus du groupe triangulaire supérieur
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  • Année : 2020
  • Tome : 415
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 34D08, 37C40, 37C85
  • Pages : 157-180
  • DOI : 10.24033/ast.1103

Nous considérons l'action de $SL(2, {\mathbb R})$ sur un fibré vectoriel $H$, préservant une mesure de probabilité ergodique $\nu$ sur la base $X$. Soit $\hat \nu$ un relevé quelconque de $\nu$ qui est une mesure de probabilité sur le fibré projectivisé ${\mathbb P}(H)$, invariante sous l'action du sous-groupe triangulaire supérieur. Sous une hypothèse d'irréductibilité de l'action, nous prouvons que toute mesure $\hat \nu$ comme ci-dessus est supportée par le projectivisé ${\mathbb P}(E_1)$ de l'espace de Lyapunov associé à l'exposant de Lyapunov le plus grand pour l'action du semi-groupe diagonal positif.
Nous en déduisons deux applications :
Premièrement, les exposants du cocycle de Kontsevich-Zorich dépendent continûment des mesures affines, ce qui répond à une question de Matheus:Moeller:Yoccoz:Criterion.
Deuxièmement, soit ${\mathbb P}(V) $ un fibré projectif irréducible, plat, au dessus d'une surface fermée hyperbolique $\Sigma$, et soit $\cal F$ le feuilletage à feuilles hyperboliques, tangent à la connection plate ; alors le flot horocyclique sur $T^1({\cal F})$ est uniquement ergodique sous l'hypothèse que le plus grand exposant de Lyapunov du flot géodésique est simple.

We consider the action of~$SL(2,\mathbb{R} )$ on a vector bundle $\mathbf{H} $ preserving an ergodic probability measure $\nu $ on the base $X$. Under an irreducibility assumption on this action, we prove that if $\hat \nu $~is any lift of~$\nu $ to a probability measure on the projectivized bunde $\mathbb{P} (\mathbf{H} )$ that is invariant under the upper triangular subgroup, then $\hat \nu $~is supported in the projectivization $\mathbb{P} (\mathbf{E} _1)$ of the top Lyapunov subspace of the positive diagonal semigroup. We derive two applications. First, the Lyapunov exponents for the Kontsevich-Zorich cocycle depend continuously on affine measures, answering a question in Matheus:Moeller:Yoccoz:Criterion. Second, if $\mathbb{P} (\mathbb{V} )$~is an irreducible, flat projective bundle over a compact hyperbolic surface $\Sigma $, with hyperbolic foliation $\mathcal{F} $ tangent to the flat connection, then the foliated horocycle flow on~$T^1\mathcal{F} $~is uniquely ergodic if the top Lyapunov exponent of the foliated geodesic flow is simple. This generalizes results in~\cite {Bonati:Comez-Mont} to arbitrary dimension.

Mesures invariantes, cocycles projectivisés, actions de groupes paraboliques, exposants de Lyapunov
Invariant measures, projective cocycles, parabolic group actions, Lyapunov exponents
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