Nous considérons une configuration consistant en une quadrangulation aléatoire infinie uniforme du demi-plan, décorée par un chemin auto-évitant infini, également aléatoire. Nous montrons dans cet article que dans la limite d'échelle, la loi de cette configuration converge vers le recollement métrique de deux demi-plans Browniens le long de leurs demi-droites positives (les demi-plans Browniens sont des métriques aléatoires définies sur le demi-plan).

En combinant ce résultat avec ceux de nos articles antérieurs, ceci complète la preuve de la convergence en loi de ces configurations vers celle d'un SLE$_{8/3}$ dessiné sur une surface aléatoire dite de gravité quantique de Liouville de paramètre $\sqrt{8/3}$. Nous établissons également le résultat analogue pour des quadrangulations uniformes du plan (au lieu du demi-plan) décoré par des marches auto-évitantes infinies ou bi-infinies.

Ces convergences sont établies pour la topologie de Gromov-Hausdorff-Prohorov, qui est l'extension naturelle de la topologie de Gromov-Hausdorff pour ce type de configurations consistant en un espace métrique décoré par une courbe.  

Notre preuve utilise la procédure d'exploration des quandrangulations aléatoires par épluchage et certaines propriétés de base du demi-plan Brownien, de sorte que le présent article ne demande aucun prérequis sur les processus SLE ou la gravité quantique de Liouville.