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Sur le problème d'annulation en cohomologie pour les actions à cocycle de groupes sur les facteurs II1

On the vanishing cohomology problem for cocycle actions of groups on II1 factors

Sorin POPA
Sur le problème d'annulation en cohomologie pour les actions à cocycle de groupes sur les facteurs II$_1$
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  • Année : 2021
  • Fascicule : 2
  • Tome : 54
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 46L10, 46L55
  • Pages : 407-443
  • DOI : 10.24033/asens.2461

On démontre que toute action libre à cocycle d'un groupe dénombrable moyennable sur un facteur II1 peut être perturbée par des automorphismes intérieurs de telle manière qu'elle devienne une \og vraie\fg{} action. En plus de contenir tous les groupes moyennables, la classe des groupes qui satisfont cette propriété d'annulation en cohomologie, qu'on appelle VC, est stable par produit libre amalgamé au-dessus d'un groupe fini.
Il n'y a pas d'autres exemples connus de groupes VC, mais en utilisant certaines actions à cocycle ΓN dans le cas où N est le facteur hyperfini R, respectivement N est le facteur du groupe libre L(F), on montre que beaucoup de groupes Γ ne sont pas VC. On montre aussi que toute action libre ΓR engendre une action libre à cocycle de Γ sur le facteur II1 RRω dont l'annulation en cohomologie est équivalente à la propriété de plongement approximatif de Connes pour NΓ, i.e. RΓRω.

 

We prove that any free cocycle action of a countable amenable group Γ on  any II1 factor N can be perturbed by inner automorphisms to a genuine action. Besides being satisfied by all amenable groups, this universal {\it vanishing cohomology} property, that we call VC, is also closed to free products with amalgamation over finite groups. While no other examples of VC-groups are known, by considering special cocycle actions ΓN in the case N is the hyperfinite II1 factor R, respectively the free group factor N=L(F), we  exclude many groups from being VC.
We also show that any free action ΓR gives rise to a free cocycle Γ-action on the II1 factor RRω whose vanishing cohomology is equivalent to Connes' Approximate Embedding property for the II1 factor RΓ.

facteurs II1, groupes moyennables, actions à cocycle, annulation de cohomologie
II1factors, amenable groups, cocycle actions, vanishing cohomology

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