Deux métriques kählériennes sur une variété complexe sont appelées c-projectivement équivalentes si leurs courbes $J$-planaires coïncident. Ces courbes sont définies par la propriété que l'accélération est proportionnelle (au sens complexe) à la vitesse. Nous donnons une description locale de tous les paires de métriques kählériennes c-projectivement équivalentes de signature arbitraire et utilisons cette description pour prouver la conjecture classique de Yano-Obata: nous montrons que sur une variété kählérienne de signature arbitraire, connexe et fermée, tout champ de vecteurs c-projectif est un champ de vecteur affine sauf si la variété est $\mathbb{C}P^n$, munie de la métrique de Fubini-Study. En tant que sous-produit, nous prouvons la conjecture de Lichnerowicz pour les métriques de signature lorentzienne. Plus  précisément, sur une variété lorentzienne connexe fermée tout champ de vecteurs projectif est un champ de vecteurs affine.