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Sur l'hyperbolicité algébrique

On algebraic hyperbolicity

Erwan ROUSSEAU
Sur l'hyperbolicité algébrique
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  • Année : 2021
  • Tome : 56
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Pages : 73-87

Nous étudions des propriétés de nature algébrique qu'on présume en rapport avec l'hyperbolicité. Un résultat classique de Demailly fournit des minorations pour le genre des courbes dans les variétés hyperboliques. Les inégalités de Demailly sont étroitement liées aux conjectures géométriques de Lang-Vojta affirmant que les courbes pour les paires logarithmiques de type général devraient satisfaire des inégalités similaires.

Partant du résultat classique de Bogomolov, qui démontre de telles inégalités pour des surfaces de type général à deuxième nombre de Segre positif, nous nous concentrons sur une preuve alternative de Miyaoka, qui rend l'inégalité effective (puisque les constantes peuvent être choisies comme fonctions des nombres de Chern de la surface).

La preuve est présentée comme une illustration de la théorie des orbifolds de Campana : les minorations du genre des courbes sont obtenues comme conséquences d'inégalités orbifold générales de type Bogomolov-Miyaoka-Yau.

We study properties of algebraic nature that are expected to be related to hyperbolicity. A classical result of Demailly establishes lower bounds for the genus of curves in hyperbolic manifolds. The inequalities of Demailly are closely related to geometric Lang-Vojta’s conjectures claiming that curves on logarithmic pairs of general type should satisfy similar inequalities.  

Starting with the classical result of Bogomolov, which proves such inequalities for surfaces of general type with positive second Segre number, we focus on the alternative proof of Miyaoka, which makes the inequality effective (since constants can be chosen to be functions of Chern numbers of the surface). 

The proof is presented as an illustration of the theory of orbifolds of Campana: lower bounds on the genus of curves are obtained as consequences of some general orbifold Bogomolov-Miyaoka-Yau inequalities.