Soit $(M,g)$ une variété riemannienne complète de dimension $n+1$, où $2\leq n\leq 6$. Notre théorème principal généralise la solution de la conjecture de S.-T. Yau concernant l'abondance des surfaces minimales, en s'appuyant sur un résultat de M. Gromov. Supposons que la géométrie de $(M,g)$ est bornée, ou plus généralement que $(M,g)$ est large à l'infini. Alors l'espace des hypersurfaces minimales compactes plongées de $(M,g)$ satisfait la dichotomie suivante : ou bien il existe une  infinité de points-selle du $n$-volume, ou bien il n'en existe aucun.

Par ailleurs, nous donnons une preuve nouvelle et courte du fait qu'une variété complète de volume fini contient une hypersurface minimale complète plongée de volume fini, nous vérifions la conjecture de Yau pour les $3$-variétés hyperboliques de volume fini et nous étendons le résultat de densité de Irie-Marques-Neves au cas où $(M,g)$ rétrécit vers zéro à l'infini.