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Une approche géométrique de la $K$-homologie des variétés de Lie

A geometric approach to $K$-homology for Lie manifolds

Karsten BOHLEN, Jean-Marie LESCURE
Une approche géométrique de la $K$-homologie des variétés de Lie
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  • Année : 2023
  • Fascicule : 6
  • Tome : 56
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 58H05, 58J20, 46L80
  • Pages : 1747-1776
  • DOI : 10.24033/asens.2566

Nous démontrons que le calcul de l'indice de Fredholm d'un opérateur pseudodifférentiel pleinement elliptique sur une variété de Lie intégrée peut être ramené à celui de l'indice d'un opérateur de Dirac perturbé par un opérateur régularisant et canoniquement associé via l'application de serrage (clutching). Pour cela nous adaptons à notre situation des idées venant de la $K$-homologie géométrique de Baum-Douglas, en particulier nous introduisons une notion de cycles géométriques qui engendrent, dans le contexte spécifique de l'article, un analogue de la $K$-homologie géométrique bien connue. Nous définissons également une application de comparaison entre notre $K$-homologie géométrique et un groupe de $K$-théorie relative directement associé aux opérateurs pseudodifférentiels pleinement elliptiques.

We show that the computation of the Fredholm index of a fully elliptic pseudodifferential operator on an integrated Lie manifold can be reduced to the computation of the index of a Dirac operator, perturbed by a smoothing operator, canonically associated, via the so-called clutching map. To this end we adapt to our framework ideas coming from Baum-Douglas geometric $K$-homology and in particular we introduce a notion of geometric cycles, that can be categorized as a variant of the famous geometric $K$-homology groups, for the specific situation here. We also define a comparison map between this geometric $K$-homology theory and a relative $K$-theory group, directly associated to a fully elliptic pseudodifferential operator.

Groupoïdes de Lie, théorie de l’indice, K-homologie, espaces singuliers
Lie groupoids, index theory, K-homology, singular spaces

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