Dans cet exposé, nous décrivons comment calculer explicitement les invariants $\deg f_*\omega _{X/B}$ et $(\omega _{X/B}\cdot \omega _{X/B})$ définis à la Arakelov, attachés à une courbe semi-stable $f:X\to B=\mathrm {Spec}\,O_K$ de fibre générique lisse et de genre $2$ sur l'anneau des entiers d'un corps de nombres $K$. Nous calculons ensuite numériquement ces invariants sur deux exemples, à savoir une courbe ayant réduction semi-stable sur $\mathbb {Q}$ (nous présentons une construction d'une telle courbe), puis la courbe dont la fibre générique admet comme équation affine $y^2+y=x^5$.