Feuilletages complexes avec ensemble limite algébrique
Complex foliations with algebraic limit sets
Anglais
Nous considérons le problème de la ification des feuilletages projectifs complexes ayant un ensemble limite algébrique. Nous démontrons le résultat suivant : Soit $\mathcal {F}$ un feuilletage holomorphe par des courbes dans le plan projectif complexe ${\mathbb C}P(2)$ dont l'ensemble limite se compose d'une courbe algébrique $\Lambda $ et de singularités. Si les singularités $\rm {sing}\, \mathcal {F} \cap \Lambda $ sont génériques alors ou bien $\mathcal {F}$ est donné par une $1$-forme rationnelle fermée ou bien $\mathcal {F}$ est l'image réciproque par une application rationnelle d'un feuilletage de Riccati $\mathcal {R}: p(x) dy - (a(x) y ^2 + b(x) y)dx=0$ (où $\Lambda $ correspond à $\overline {(y=0)}\cup \overline {(p(x)=0)}$) dans $\overline {\mathbb {C}}\times \overline {\mathbb {C}}$. La preuve repose sur la résolubilité des groupes d'holonomie généralisée associés à un processus de réduction des singularités de $\rm {sing}\, \mathcal {F} \cap \Lambda $ et sur la construction d'une structure affine transverse à $\mathcal {F}$ en dehors de la courbe algébrique invariante contenant $\Lambda $.