SMF

Feuilletages complexes avec ensemble limite algébrique

Complex foliations with algebraic limit sets

César CAMACHO, Bruno AZEVEDO SCÁRDUA
     
                
  • Année : 2000
  • Tome : 261
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 32L30, 58F18
  • Pages : 57-88
  • DOI : 10.24033/ast.469

Nous considérons le problème de la ification des feuilletages projectifs complexes ayant un ensemble limite algébrique. Nous démontrons le résultat suivant : Soit $\mathcal {F}$ un feuilletage holomorphe par des courbes dans le plan projectif complexe ${\mathbb C}P(2)$ dont l'ensemble limite se compose d'une courbe algébrique $\Lambda $ et de singularités. Si les singularités $\rm {sing}\, \mathcal {F} \cap \Lambda $ sont génériques alors ou bien $\mathcal {F}$ est donné par une $1$-forme rationnelle fermée ou bien $\mathcal {F}$ est l'image réciproque par une application rationnelle d'un feuilletage de Riccati $\mathcal {R}: p(x) dy - (a(x) y ^2 + b(x) y)dx=0$ (où $\Lambda $ correspond à $\overline {(y=0)}\cup \overline {(p(x)=0)}$) dans $\overline {\mathbb {C}}\times \overline {\mathbb {C}}$. La preuve repose sur la résolubilité des groupes d'holonomie généralisée associés à un processus de réduction des singularités de $\rm {sing}\, \mathcal {F} \cap \Lambda $ et sur la construction d'une structure affine transverse à $\mathcal {F}$ en dehors de la courbe algébrique invariante contenant $\Lambda $.

We regard the problem of ification for complex projective foliations with algebraic limit sets and prove the following : Let $\mathcal {F}$ be a holomorphic foliation by curves in the complex projective plane $\mathbb {C} P(2)$ having as limit set some singularities and an algebraic curve $\Lambda \subset \mathbb {C}P(2)$. If the singularities $\rm {sing}\, \mathcal {F}\cap \Lambda $ are generic then either $\mathcal {F}$ is given by a closed rational $1$-form or it is a rational pull-back of a Riccati foliation $\mathcal {R}: p(x) dy - (a(x) y ^2 + b(x) y)dx=0$, where $\Lambda $ corresponds to $\overline {(y=0)}\cup \overline {(p(x)=0)}$, on $\overline {\mathbb {C}}\times \overline {\mathbb {C}}$. The proof is based on the solvability of the generalized holonomy groups associated to a reduction process of the singularities $\rm {sing}\, \mathcal {F} \cap \Lambda $ and the construction of an affine transverse structure for $\mathcal {F}$ outside an algebraic curve containing $\Lambda $.

Holomorphic foliation, limit set, holonomy


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