On dispose d'une description conjecturale du comportement des fonctions $L$ complexes de l'arithmétique en tous les entiers et on aimerait bien obtenir le même genre de résultats pour leurs avatars $p$-adiques dont l'existence même est, en général, conjecturale. L'exposé décrit une machine, due à Perrin-Riou, fournissant à la fois une construction des fonctions $L$ $p$-adiques et une information précise sur leur comportement aux entiers, le problème étant de trouver du carburant pour la faire marcher, ce que l'on ne sait faire que dans un nombre très limité de cas.