Dans cet article, on étudie les propriétés géométriques des billards dispersifs multi-dimensionnels. D'une part, on découvre un comportement non régulier dans les variétés singulières du système (cette découverte concerne aussi la catégorie plus générale des billards semi-dispersifs). D'autre part, on donne une description géométrique cohérente pour les variétés instables, puis on démontre d'importantes propriétés de régularité. Toutes ces questions sont particulièrement en rapport avec l'étude du comportement ergodique et statistique de la dynamique.