On construit des intégrales globales de type de Shimura, qui représentent la fonction $L$ standard (partielle) $L^S(\pi \otimes \sigma ,s)$ pour une représentation $\pi \otimes \sigma $, irréductible, automorphe, cuspidale et générique de $\mathrm {Sp}_{2n}(\mathbb {A})\times \mathrm {GL}_k(\mathbb {A})$. On présente deux constructions différentes : une pour le cas $n>k$, et une pour le cas $n\le k$. Ces constructions sont, dans un certain sens, duales l'une de l'autre. On étudie de même le cas (tout à fait analogue) où $\pi $ est une représentation du groupe métaplectique $\widetilde {\mathrm {Sp}}_{2n}(\mathbb {A})$. Ici, on doit d'abord fixer le choix d'un caractère additif et non trivial $\psi $, pour définir la fonction $L$, $L^S_\psi (\pi \otimes \sigma ,s)$. Les intégrales dépendent d'une forme cuspidale de $\pi $, d'une série thêta sur $\widetilde {\mathrm {Sp}}_{2\ell } (\mathbb {A})$ $(\ell =\min (n,k))$ et d'une série d'Eisenstein sur $\mathrm {Sp}_{2k}(\mathbb {A})$ (ou $\widetilde {\mathrm {Sp}}_{2k}(\mathbb {A})$) induite par $\sigma $.