SMF

Estimations de diffusion pour un opérateur de Klein-Gordon matriciel dépendant du temps

Scattering estimates for a time dependent matricial Klein-Gordon operator

Mohammed Benchaou
Estimations de diffusion pour un opérateur de Klein-Gordon matriciel dépendant du temps
     
                
  • Année : 1998
  • Fascicule : 2
  • Tome : 126
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 35~P~25, 35~P~99, 81~U~05
  • Pages : 273-294
  • DOI : 10.24033/bsmf.2327
Dans ce travail, on s'intéresse à la théorie de la diffusion pour un opérateur de Klein-Gordon matriciel $2\times 2$ dépendant du temps, du type : $ P=\bigl (\sqrt {1-h^2\Delta _x }\, \bigr ) {\bf I}_2+V(t,x)+hR(t,x) $ sur $L^2({\mathbb R}^n)\oplus L^2({\mathbb R}^n)$, où $V(t,x)$ est une matrice diagonale réelle dont les valeurs propres ne sont jamais égales lorsque $(t,x)$ décrit ${\mathbb R}^{n+1}$. On suppose également que $V$ et $R$ se prolongent holomorphiquement dans une bande complexe autour de ${\mathbb R}^{n+1}\!$, et vérifient certaines propriétés de décroissance à l'infini. Si l'on note $S=(S_{i,j})_{1\leq i,j\leq 2}$ l'opérateur de diffusion associé à $P$, on montre alors que ses éléments antidiagonaux $S_{1,2}$ et $S_{2,1}$ ont une norme exponentiellement petite lorsque $h$ tend vers $0_+$. Plus précisément, on obtient une estimation du type ${\mathcal O} (\mathrm {e}^{-\Sigma /h})$, où $\Sigma >0$ est une constante explicitement reliée au comportement de $V(t,x)$ dans le complexe.
In this paper, we study the scattering theory for a time dependent $2\times 2$ matricial Klein-Gordon operator, of the type : $ P=(\sqrt {1-h^2\Delta _x }){\bf I}_2+V(t,x)+hR(t,x) $ on $L^2({\mathbb R}^n)\oplus L^2({\mathbb R}^n)$, where $V(t,x)$ is a real diagonal matrix, the eigenvalues of which are never equals when $(t,x)$ varies in ${\mathbb R}^{n+1}$. One also assumes that $V$ and $R$ extend holomorphically in a complex strip around ${\mathbb R}^{n+1}$, and satisfy to some decay properties at infinity. Then, denoting $S=(S_{i,j})_{1\leq i,j\leq 2}$ the scattering operator associated to $P$, we show that its off-diagonal coefficients $S_{1,2}$ and $S_{2,1}$ have an exponentially small norm as $h$ tends to $0_+$. More precisely, we obtain an estimate of the type ${\mathcal O}(\mathrm {e} ^{-\Sigma /h})$, where $\Sigma >0$ is a constant which is explicitly related to the behaviour of $V(t,x)$ in the complex domain.
diffusion, semi- ique, décroissance exponentielle


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