SMF

Fonctions $L$ pour les groupes symplectiques

$L$-functions for symplectic groups

David Ginzburg, Stephen Rallis, David Soudry
Fonctions $L$ pour les groupes symplectiques
  • Année : 1998
  • Fascicule : 2
  • Tome : 126
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 22~E~55, 11~F~85
  • Pages : 181-244
  • DOI : 10.24033/bsmf.2325
On construit des intégrales globales de type de Shimura, qui représentent la fonction $L$ standard (partielle) $L^S(\pi \otimes \sigma ,s)$ pour une représentation $\pi \otimes \sigma $, irréductible, automorphe, cuspidale et générique de $\mathrm {Sp}_{2n}(\mathbb {A})\times \mathrm {GL}_k(\mathbb {A})$. On présente deux constructions différentes : une pour le cas $n>k$, et une pour le cas $n\le k$. Ces constructions sont, dans un certain sens, duales l'une de l'autre. On étudie de même le cas (tout à fait analogue) où $\pi $ est une représentation du groupe métaplectique $\widetilde {\mathrm {Sp}}_{2n}(\mathbb {A})$. Ici, on doit d'abord fixer le choix d'un caractère additif et non trivial $\psi $, pour définir la fonction $L$, $L^S_\psi (\pi \otimes \sigma ,s)$. Les intégrales dépendent d'une forme cuspidale de $\pi $, d'une série thêta sur $\widetilde {\mathrm {Sp}}_{2\ell } (\mathbb {A})$ $(\ell =\min (n,k))$ et d'une série d'Eisenstein sur $\mathrm {Sp}_{2k}(\mathbb {A})$ (ou $\widetilde {\mathrm {Sp}}_{2k}(\mathbb {A})$) induite par $\sigma $.
We construct global integrals of Shimura type, which represent the standard (partial) $L$-function $L^S(\pi \otimes \sigma ,s)$, for $\pi \otimes \sigma $, an irreducible, automorphic, cuspidal and generic representation of $\mathrm {Sp}_{2n}(\mathbb {A})\times \mathrm {GL}_k(\mathbb {A})$. We present two different constructions : one for the case $n>k$ and one for the case $n\le k$. These constructions are, in a certain sense, dual to each other. We also study the (completely analogous) case where $\pi $ is a representation of the metaplectic group $\widetilde {\mathrm {Sp}}_{2n}(\mathbb {A})$. Here we have to first fix a choice of a non-trivial additive character $\psi $, in order to define the $L$-function $L^S_\psi (\pi \otimes \sigma ,s)$. The integrals depend on a cusp form of $\pi $, a theta series on $\widetilde {\mathrm {Sp}}_{2\ell }(\mathbb {A})$ $(\ell =\min (n,k))$ and an Eisenstein series on $\mathrm {Sp}_{2k}(\mathbb {A})$ (or $\widetilde {\mathrm {Sp}}_{2k}(\mathbb {A})$) induced from $\sigma $.
$L$ function, theta series, Eisenstein series, Whittaker model
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