Dans ce travail, on montre que le degré d'une courbe de $\mathbb {P}^2$ passant par $r$ points en position générale avec multiplicité $m$ est strictement plus grand que $\sqrt {r} \,m$ sous l'une des deux conditions suivantes : $r$ est un carré parfait supérieur ou égal à dix ou $r$ est plus grand que $(8m(m+1)/(4m-1))^2$. Ce résultat s'inscrit dans une conjecture générale de Nagata, et le premier cas était déjà connu par Nagata lui-même.