Soit $M$ une variété compacte orientée à bord. On suppose que $\pi _1(M)$ est le produit d'un groupe fini non trivial $F$ et d'un groupe $\Gamma $ qui est soit à croissance polynomiale, soit hyperbolique au sens de Gromov. On se donne une représentation non triviale $\rho : F\rightarrow U(\ell )$ et on considère le fibré plat unitaire associé $E_\rho $. On désigne par $\widetilde M$ le revêtement universel de $M$ et on considère le revêtement $\Gamma $-galoisien $\pi :\widetilde M/F\to M$, le fibré plat relevé $\widetilde E_\rho =\pi ^*(E_\rho )$ et l'opérateur de signature « twisté »associé. Sous l'hypothèse supplémentaire que l'opérateur de signature « twisté »induit sur le bord de $\widetilde M/F$ est $L^2$-inversible, Lott a introduit dans [L2] les hautes signatures « twistées »de $M$. Notre résultat principal – une réponse positive à une conjecture de type Novikov pour les variétés à bord – est que ce sont des invariants d'homotopie de la paire $(M,\partial M)$. La preuve dépend de manière essentielle du $b\, $-$\mathcal {B}^\infty $-calcul pseudodifférentiel développé dans [LP1], du théorème d'indice supérieur APS de [LP1] (étendu ici au cas des groupes hyperboliques au sens de Gromov) et du résultat ique de Kaminker-Miller énonçant l'égalité des es d'indices associées à deux complexes hermitiens de Fredholm homotopiquement équivalents.