L'objectif de cet article est de mesurer la complexité arithmétique de la courbe modulaire $X_0(N)$ en fonction du niveau $N$. Pour ce faire, on utilise un morphisme fini (de degré 1 sur son image) de $X_0(N)$ vers une variété fixe $X(1)\times X(1)$ et on calcule la hauteur au sens d'Arakelov de l'image $T_N$ de ce morphisme. La hauteur employée est directement reliée à la hauteur de Faltings des courbes elliptiques. On a besoin pour cela de considérer une théorie d'Arakelov pour les faisceaux inversibles hermitiens $L_1^2$-singuliers (au lieu de $C^{\infty }$ iquement). On en déduit des résultats sur la hauteur (de Faltings) de courbes elliptiques isogènes, ainsi que sur des moyennes de hauteurs de courbes elliptiques à multiplication complexe (i.e. une formule de Kronecker arithmétique).