Sur la structure des catégories triangulées
On the structure of triangulated categories with finitely many indecomposables
Anglais
Cet article traite du problème de ification des catégories triangulées sur un corps algébriquement clos $k$ dont les espaces de morphismes sont de dimension finie et avec un nombre fini d'indécomposables. Nous obtenons une nouvelle preuve du résultat suivant dû à Xiao et Zhu : le carquois d'Auslander-Reiten d'une telle catégorie $\mathcal {T}$ est de la forme $\mathbb {Z}\Delta /G$ où $\Delta $ est une union disjointe de diagrammes de Dynkin simplement lacés et $G$ est un groupe d'automorphismes de $\mathbb {Z}\Delta $ faiblement admissible. Nous montrons ensuite que pour ‘presque' tous groupes $G$, la catégorie $\mathcal {T}$ est standard, c'est-à-dire $k$-linéairement équivalente à une catégorie d'orbites $\mathcal {D}^b({\sf mod \hspace {.02in}} k\Delta )/\Phi $. C'est en particulier le cas lorsque $\mathcal {T}$ est maximale $d$-Calabi-Yau avec $d\geq 2$. De plus, si $\mathcal {T}$ est standard et algébrique, nous pouvons même construire une équivalence triangulée entre $\mathcal {T}$ et la catégorie d'orbites correspondante. Nous donnons finalemant une condition suffisante pour que la catégorie de projectifs d'une catégorie de Frobenius soit triangulée. Cela nous permet de construire des catégories $1$-Calabi-Yau non standard en utilisant les algèbres préprojectives déformées de type Dynkin généralisé.