Sur la structure des catégories triangulées
On the structure of triangulated categories with finitely many indecomposables
- Année : 2007
- Fascicule : 3
- Tome : 135
- Format : Électronique
- Langue de l'ouvrage :
Anglais - Class. Math. : 18E30, 16G70
- Pages : 435-474
- DOI : 10.24033/bsmf.2542
Cet article traite du problème de ification des catégories triangulées sur un corps algébriquement clos $k$ dont les espaces de morphismes sont de dimension finie et avec un nombre fini d'indécomposables. Nous obtenons une nouvelle preuve du résultat suivant dû à Xiao et Zhu : le carquois d'Auslander-Reiten d'une telle catégorie $\mathcal {T}$ est de la forme $\mathbb {Z}\Delta /G$ où $\Delta $ est une union disjointe de diagrammes de Dynkin simplement lacés et $G$ est un groupe d'automorphismes de $\mathbb {Z}\Delta $ faiblement admissible. Nous montrons ensuite que pour ‘presque' tous groupes $G$, la catégorie $\mathcal {T}$ est standard, c'est-à-dire $k$-linéairement équivalente à une catégorie d'orbites $\mathcal {D}^b({\sf mod \hspace {.02in}} k\Delta )/\Phi $. C'est en particulier le cas lorsque $\mathcal {T}$ est maximale $d$-Calabi-Yau avec $d\geq 2$. De plus, si $\mathcal {T}$ est standard et algébrique, nous pouvons même construire une équivalence triangulée entre $\mathcal {T}$ et la catégorie d'orbites correspondante. Nous donnons finalemant une condition suffisante pour que la catégorie de projectifs d'une catégorie de Frobenius soit triangulée. Cela nous permet de construire des catégories $1$-Calabi-Yau non standard en utilisant les algèbres préprojectives déformées de type Dynkin généralisé.