Nous démontrons deux résultats concernant le problème de Cauchy dans l'espace d'énergie pour des équations de Schrödinger non linéaires sur des variétés compactes de dimension 4. Le premier établit le caractère globalement bien posé pour des seconds membres du type de Hartree et contient comme cas particulier certaines régularisations de l'équation cubique sur la sphère. Le second résultat fournit, dans le cas de données zonales sur la sphère, le caractère localement bien posé pour des seconds membres quadratiques, ainsi qu'une condition nécessaire et suffisante à l'existence globale lorsque les données sont assez petites et que l'équation est hamiltonienne. Chacun de ces résultats est fondé sur de nouvelles estimations multilinéaires du type de Strichartz pour le groupe de Schrödinger.