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Sur les réalisations de de Rham et $p$-adiques du polylogarithme elliptique des courbes ellliptiques à multiplication complexe

On the de Rham and $p$-adic realizations of the Elliptic Polylogarithm for CM elliptic curves

Kenichi Bannai, Shinichi Kobayashi, Takeshi Tsuji
Sur les réalisations de de Rham et $p$-adiques du polylogarithme elliptique des courbes ellliptiques à multiplication complexe
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  • Année : 2010
  • Tome : 43
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 11G55, 11G07, 11G15, 14F30, 14G10
  • Pages : 185-234
  • DOI : 10.24033/asens.2119
Dans cet article, nous donnons une description explicite des réalisations de de Rham et $p$-adiques des polylogarithmes elliptiques en utilisant la fonction thêta de Kronecker. Considérons en particulier une courbe elliptique $E$ définie sur un corps quadratique imaginaire $\mathbb {K}$, à multiplication complexe par l'anneau des entiers $\mathcal {O}_\mathbb {K}$ de $\mathbb {K}$, et ayant bonne réduction en chaque place au-dessus d'un nombre premier $p \geq 5$ non ramifié dans $\mathbb {K}$. On notera que le nombre de e de $\mathbb {K}$ est nécessairement égal à un. Nous montrons alors que les spécialisations des polylogarithmes $p$-adiques aux points de torsion de $E$ d'ordre premier à $p$ sont reliées aux nombres d'Eisenstein-Kronecker $p$-adiques. Ce résultat est valable même si $E$ a une réduction supersingulière en $p$. C'est un analogue $p$-adique d'un cas spécial du résultat de Beilinson et Levin exprimant la réalisation de Hodge du polylogarithme elliptique en utilisant les séries d'Eisenstein-Kronecker-Lerch. Si $p$ est quelconque, nous établissons un lien entre les nombres d'Eisenstein-Kronecker $p$-adiques et les valeurs spéciales des fonctions $L$ associées aux caractères de Hecke de $\mathbb {K}$.
In this paper, we give an explicit description of the de Rham and $p$-adic polylogarithms for elliptic curves using the Kronecker theta function. In particular, consider an elliptic curve $E$ defined over an imaginary quadratic field $\mathbb {K}$ with complex multiplication by the full ring of integers $\mathcal {O}_\mathbb {K}$ of $\mathbb {K}$. Note that our condition implies that $\mathbb {K}$ has number one. Assume in addition that $E$ has good reduction above a prime $p \geq 5$ unramified in $\mathcal {O}_\mathbb {K}$. In this case, we prove that the specializations of the $p$-adic elliptic polylogarithm to torsion points of $E$ of order prime to $p$ are related to $p$-adic Eisenstein-Kronecker numbers. Our result is valid even if $E$ has supersingular reduction at $p$. This is a $p$-adic analogue in a special case of the result of Beilinson and Levin, expressing the Hodge realization of the elliptic polylogarithm in terms of Eisenstein-Kronecker-Lerch series. When $p$ is ordinary, then we relate the $p$-adic Eisenstein-Kronecker numbers to special values of $p$-adic $L$-functions associated to certain Hecke characters of $\mathbb {K}$.
Courbes elliptiques, multiplication complexe, polylogarithmes elliptiques, fonctions $L$ $p$-adiques.
Elliptic curves, complex multiplication, elliptic polylogarithms, $p$-adic $L$-functions.
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