Opérateurs elliptiques du second ordre à coefficients complexes mesurables bornés dans les espaces Lp, de Sobolev et de Hardy
Second order elliptic operators with complex bounded measurable coefficients in Lp, Sobolev and Hardy spaces

Anglais
Soit L un opérateur elliptique du second ordre de formes de divergence, à coefficients complexes bornés et mesurables. Les opérateurs associés à L tels que le semi-groupe de la chaleur ou la transformée de Riesz ne sont en général pas de type Calderón-Zygmund et présentent des comportements différents de leurs analogues construits à partir du laplacien. Cet article a pour objectif de décrire de manière exhaustive les propriétés de ces opérateurs dans Lp, dans les espaces de Sobolev ainsi que dans certains nouveaux espaces de Hardy naturellement associés à L. Tout d'abord, nous montrons que les plages de valeurs connues pour lesquelles ces opérateurs sont bornés en norme Lp sont strictes. En particulier, le semi-groupe de la chaleur et la transformée de Riesz ne sont pas obligatoirement bornés si p∉[2n/(n+2),2n/(n−2)]. Nous fournissons ensuite une description complète de tous les espaces de Sobolev pour lesquels L admet un calcul fonctionnel borné, en particulier, pour lesquels e−tL est borné. Puis, nous développons une théorie extensive des espaces de Hardy et de Lipschitz associés à L, pour les valeurs de p hors de [2n/(n+2),2n/(n−2)]. Cette théorie comprend, en particulier, des caractérisations par la fonction maximale « dièse » et par la transformée de Riesz (pour certaines plages de p), ainsi que leur décomposition moléculaire, leur dualité et les théorèmes d'interpolation.