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Opérateurs elliptiques du second ordre à coefficients complexes mesurables bornés dans les espaces $L^p$, de Sobolev et de Hardy

Second order elliptic operators with complex bounded measurable coefficients in $L^p$, Sobolev and Hardy spaces

Steve Hofmann, Svitlana Mayboroda, Alan McIntosh
Opérateurs elliptiques du second ordre à coefficients complexes mesurables bornés dans les espaces $L^p$, de Sobolev et de Hardy
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  • Année : 2011
  • Tome : 44
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 42B30, 42B35, 42B25, 35J15
  • Pages : 723-800
  • DOI : 10.24033/asens.2154
Soit $L$ un opérateur elliptique du second ordre de formes de divergence, à coefficients complexes bornés et mesurables. Les opérateurs associés à $L$ tels que le semi-groupe de la chaleur ou la transformée de Riesz ne sont en général pas de type Calderón-Zygmund et présentent des comportements différents de leurs analogues construits à partir du laplacien. Cet article a pour objectif de décrire de manière exhaustive les propriétés de ces opérateurs dans $L^p$, dans les espaces de Sobolev ainsi que dans certains nouveaux espaces de Hardy naturellement associés à $L$. Tout d'abord, nous montrons que les plages de valeurs connues pour lesquelles ces opérateurs sont bornés en norme $L^p$ sont strictes. En particulier, le semi-groupe de la chaleur et la transformée de Riesz ne sont pas obligatoirement bornés si $p\not \in [2n/(n+2),2n/(n-2)]$. Nous fournissons ensuite une description complète de tous les espaces de Sobolev pour lesquels $L$ admet un calcul fonctionnel borné, en particulier, pour lesquels $e^{-tL}$ est borné. Puis, nous développons une théorie extensive des espaces de Hardy et de Lipschitz associés à $L$, pour les valeurs de $p$ hors de $[2n/(n+2),2n/(n-2)]$. Cette théorie comprend, en particulier, des caractérisations par la fonction maximale « dièse » et par la transformée de Riesz (pour certaines plages de $p$), ainsi que leur décomposition moléculaire, leur dualité et les théorèmes d'interpolation.
Let $L$ be a second order divergence form elliptic operator with complex bounded measurable coefficients. The operators arising in connection with $L$, such as the heat semigroup and Riesz transform, are not, in general, of Calderón-Zygmund type and exhibit behavior different from their counterparts built upon the Laplacian. The current paper aims at a thorough description of the properties of such operators in $L^p$, Sobolev, and some new Hardy spaces naturally associated to $L$. First, we show that the known ranges of boundedness in $L^p$ for the heat semigroup and Riesz transform of $L$, are sharp. In particular, the heat semigroup $e^{-tL}$ need not be bounded in $L^p$ if $p\not \in [2n/(n+2),2n/(n-2)]$. Then we provide a complete description of all Sobolev spaces in which $L$ admits a bounded functional calculus, in particular, where $e^{-tL}$ is bounded. Secondly, we develop a comprehensive theory of Hardy and Lipschitz spaces associated to $L$, that serves the range of $p$ beyond $[2n/(n+2),2n/(n-2)]$. It includes, in particular, characterizations by the sharp maximal function and the Riesz transform (for certain ranges of $p$), as well as the molecular decomposition and duality and interpolation theorems.
Espaces de Hardy et de Lipschitz, opérateurs elliptiques, coefficients complexes, semi-groupe de la chaleur, transformation de Riesz
Hardy and Lipschitz spaces, elliptic operators, complex coefficients, heat semigroup, Riesz transform
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