Soit $L$ un opérateur elliptique du second ordre de formes de divergence, à coefficients complexes bornés et mesurables. Les opérateurs associés à $L$ tels que le semi-groupe de la chaleur ou la transformée de Riesz ne sont en général pas de type Calderón-Zygmund et présentent des comportements différents de leurs analogues construits à partir du laplacien. Cet article a pour objectif de décrire de manière exhaustive les propriétés de ces opérateurs dans $L^p$, dans les espaces de Sobolev ainsi que dans certains nouveaux espaces de Hardy naturellement associés à $L$. Tout d'abord, nous montrons que les plages de valeurs connues pour lesquelles ces opérateurs sont bornés en norme $L^p$ sont strictes. En particulier, le semi-groupe de la chaleur et la transformée de Riesz ne sont pas obligatoirement bornés si $p\not \in [2n/(n+2),2n/(n-2)]$. Nous fournissons ensuite une description complète de tous les espaces de Sobolev pour lesquels $L$ admet un calcul fonctionnel borné, en particulier, pour lesquels $e^{-tL}$ est borné. Puis, nous développons une théorie extensive des espaces de Hardy et de Lipschitz associés à $L$, pour les valeurs de $p$ hors de $[2n/(n+2),2n/(n-2)]$. Cette théorie comprend, en particulier, des caractérisations par la fonction maximale « dièse » et par la transformée de Riesz (pour certaines plages de $p$), ainsi que leur décomposition moléculaire, leur dualité et les théorèmes d'interpolation.