Soit $p>2$ un nombre premier. Soient $G:=\mathrm {GL}_2(\mathbb Q_p)$ et $\pi $, $\tau $ des représentations lisses irréductibles de $G$ sur des $\overline {\mathbb {F}}_{p}$-espaces vectoriels avec caractère central. Nous montrons que si $\pi $ est supersingulière alors $\mathrm {Ext}^1_G(\tau ,\pi )\neq 0$ implique $\tau \cong \pi $ et nous calculons la dimension de $\mathrm {Ext}^1_G(\pi , \pi )$. Cela répond par l'affirmative pour $p>2$ à une question de Colmez. Nous déterminons aussi $\mathrm {Ext}^1_G(\tau ,\pi )$, quand $\pi $ est la représentation de Steinberg. En conséquence de nos résultats, combinés avec ceux de la litérature, nous connaissons maintenant les extensions entre toutes les représentations irréductibles de $G$.