Ce cours est consacré à la théorie des semigroupes de Markov. Il présente leurs propriétés fondamentales et quelques autres résultats. En particulier nous étudions les semigroupes associés aux familles iques des polynômes orthogonaux ( semigroupe d'Ornstein-Uhlenbeck, de Laguerre et de Jacobi) Nous allons étudier en détail la propriété d'hypercontractivité du semigroupe d'Ornstein-Uhlenbeck. Pour cela, nous montrons que l'opérateur d'Ornstein-Uhlenbeck vérifie une inégalité logarithmique de Sobolev, ce qui est équivalent à l'hypercontractivité, comme dé montré par Leonard Gross. Ensuite nous étudions les inégalités fonctionnelles, qui relient la norme $L^p (\mu ) $ d'une fonction à la norme $L^q (\mu ) $ de son (faible) gradient (inégalités de Sobolev, inégalités de Sobolev logarithmiques et les inégalités du trou spectral). Finalement, nous considérons aussi les inégalités courbure–dimension.